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Day 124 — 时间序列预测

数据分析与AI/ML 376 行 3 个可运行脚本
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Day 124 — 时间序列预测

时间序列数据无处不在：股票价格、天气温度、网站流量、销售额。掌握时间序列分析是数据科学家的必备技能。

1. 时间序列基础

1.1 什么是时间序列

时间序列（Time Series）是按时间顺序排列的数据点序列。与普通数据不同，时间序列具有 时序依赖性——当前值与过去值相关。

时间序列数据示例 (每日销售额):
日期        销售额
2026-01-01   100
2026-01-02   120
2026-01-03   115
2026-01-04   130
2026-01-05   125
    ...

1.2 时间序列的组成成分

时间序列 = 趋势 + 季节性 + 周期性 + 残差

Y(t) = T(t) + S(t) + C(t) + ε(t)

┌─────────────────────────────────────────────────┐
│ 原始序列                                         │
│   /\    /\    /\    /\                           │
│  /  \  /  \  /  \  /  \                         │
│ /    \/    \/    \/    \                        │
│ ────────────────────────  ← 趋势 (上升)         │
├─────────────────────────────────────────────────┤
│ 趋势分量 T(t)                                    │
│              ╱                                  │
│           ╱                                     │
│        ╱                                        │
│     ╱                                           │
├─────────────────────────────────────────────────┤
│ 季节性分量 S(t)                                  │
│  /\    /\    /\    /\                           │
│ /  \  /  \  /  \  /  \                         │
│/    \/    \/    \/    \                        │
├─────────────────────────────────────────────────┤
│ 残差 ε(t)                                       │
│  ~  ~   ~  ~    ~   ~  ~                       │
└─────────────────────────────────────────────────┘

1.3 时间序列的类型

类型 特征 示例
平稳序列 均值、方差恒定 白噪声
非平稳序列 均值或方差变化 股票价格
有季节性 固定周期重复模式 冬装销量
有趋势 长期上升或下降 GDP增长

2. 时间序列分解

2.1 加法分解

Y(t) = T(t) + S(t) + ε(t)

适用: 季节性波动幅度恒定
示例: 每年固定增加100台销量

2.2 乘法分解

Y(t) = T(t) × S(t) × ε(t)

适用: 季节性波动随趋势增大
示例: 每年销量翻倍，季节性波动也翻倍

2.3 使用 statsmodels 分解

python
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
import pandas as pd

# 加法分解
result_add = seasonal_decompose(series, model='additive', period=12)

# 乘法分解
result_mul = seasonal_decompose(series, model='multiplicative', period=12)

# 访问分量
trend = result_add.trend       # 趋势
seasonal = result_add.seasonal # 季节性
residual = result_add.resid    # 残差

3. 平稳性检验

3.1 什么是平稳性

平稳时间序列的统计特性（均值、方差、自相关）不随时间变化。

平稳序列:                    非平稳序列:
  ~~~~波动恒定~~~~             / 逐渐上升 \
  均值恒定                    均值在变化
  方差恒定                    方差可能变化

3.2 ADF 检验（Augmented Dickey-Fuller）

python
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

result = adfuller(series)
print(f'ADF Statistic: {result[0]:.4f}')
print(f'p-value: {result[1]:.4f}')

# 判断:
# p-value < 0.05 → 序列平稳
# p-value >= 0.05 → 序列非平稳，需要差分

3.3 差分（Differencing）

差分是将非平稳序列转化为平稳序列的常用方法：

一阶差分: Δy(t) = y(t) - y(t-1)
二阶差分: Δ²y(t) = Δy(t) - Δy(t-1)

示例:
原始:    [100, 110, 105, 120, 115]
一阶差分: [ 10,  -5,  15,  -5]
二阶差分: [-15,  20, -20]

4. ARIMA 模型

4.1 ARIMA 简介

ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) 是最经典的时间序列预测模型。

ARIMA(p, d, q)

p: 自回归阶数 (AR) - 用过去p个值预测
d: 差分阶数 (I) - 使序列平稳
q: 移动平均阶数 (MA) - 用过去q个误差预测

4.2 ARIMA 各部分

AR (自回归):

y(t) = c + φ₁y(t-1) + φ₂y(t-2) + ... + φₚy(t-p) + ε(t)

含义: 当前值是过去值的线性组合

I (差分):

Δy(t) = y(t) - y(t-1)

含义: 用差分使序列平稳

MA (移动平均):

y(t) = c + ε(t) + θ₁ε(t-1) + θ₂ε(t-2) + ... + θ_qε(t-q)

含义: 当前值受过去误差的影响

4.3 ARIMA 建模流程

Step 1: 平稳性检验
    │
    ▼
Step 2: 差分 (如果需要)
    │
    ▼
Step 3: 确定 p, q (ACF/PACF 图)
    │
    ├── ACF 拖尾, PACF 截尾 → AR(p)
    ├── ACF 截尾, PACF 拖尾 → MA(q)
    └── ACF 拖尾, PACF 拖尾 → ARIMA(p,q)
    │
    ▼
Step 4: 拟合模型
    │
    ▼
Step 5: 残差检验 (Ljung-Box 检验)
    │
    ▼
Step 6: 预测

4.4 使用 statsmodels 实现

python
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 拟合 ARIMA 模型
model = ARIMA(series, order=(1, 1, 1))
fitted = model.fit()
print(fitted.summary())

# 预测
forecast = fitted.forecast(steps=12)  # 预测未来12步

5. Prophet 模型

5.1 Prophet 简介

Prophet 是 Facebook 开源的时间序列预测工具，特别适合具有以下特征的数据：
- 强季节性
- 趋势变化点
- 缺失值
- 异常值

5.2 Prophet 核心思想

y(t) = g(t) + s(t) + h(t) + ε(t)

g(t): 趋势函数 (线性或逻辑增长)
s(t): 季节性函数 (傅里叶级数)
h(t): 节假日效应
ε(t): 误差项

5.3 使用 Prophet

python
from prophet import Prophet
import pandas as pd

# 准备数据 (必须有 ds 和 y 列)
df = pd.DataFrame({
    'ds': pd.date_range('2026-01-01', periods=365),
    'y': sales_data  # 销售额
})

# 创建并训练模型
model = Prophet(
    yearly_seasonality=True,
    weekly_seasonality=True,
    daily_seasonality=False,
    changepoint_prior_scale=0.05
)
model.fit(df)

# 创建未来日期
future = model.make_future_dataframe(periods=30)

# 预测
forecast = model.predict(future)

# 可视化
model.plot(forecast)
model.plot_components(forecast)

5.4 Prophet vs ARIMA 对比

对比维度 ARIMA Prophet
假设条件 严格（平稳性） 宽松
季节性 需手动设置 自动检测
缺失值 需预处理 内置处理
异常值 敏感 鲁棒
可解释性 中等 高
调参难度 高 低
大规模数据 适合 适合

6. 评估指标

6.1 常用指标

指标 公式 说明
MAE Σ|yₜ - ŷₜ| / n 平均绝对误差
MSE Σ(yₜ - ŷₜ)² / n 均方误差
RMSE √MSE 均方根误差
MAPE Σ|yₜ - ŷₜ|/|yₜ| × 100 / n 平均绝对百分比误差
SMAPE Σ|yₜ - ŷₜ|/|yₜ|+|ŷₜ| × 100 / n 对称MAPE

6.2 MAPE 的陷阱

MAPE 在真实值接近0时会爆炸，且对低估和高估的惩罚不对称：

python
# MAPE 的问题
真实值: 100, 预测值: 80  → MAPE = 20%
真实值: 100, 预测值: 120 → MAPE = 20%
但: 真实值: 1, 预测值: 101 → MAPE = 10000%!

7. 特征工程

7.1 时间特征

python
df['year'] = df['date'].dt.year
df['month'] = df['date'].dt.month
df['day_of_week'] = df['date'].dt.dayofweek
df['quarter'] = df['date'].dt.quarter
df['is_weekend'] = df['date'].dt.dayofweek >= 5

7.2 滞后特征

python
df['lag_1'] = df['y'].shift(1)   # 昨天的值
df['lag_7'] = df['y'].shift(7)   # 上周同天
df['lag_30'] = df['y'].shift(30) # 上月同天

7.3 滚动统计

python
df['rolling_mean_7'] = df['y'].rolling(7).mean()   # 7天均值
df['rolling_std_7'] = df['y'].rolling(7).std()     # 7天标准差
df['rolling_max_30'] = df['y'].rolling(30).max()   # 30天最大值

8. 实战代码

9. 思考题

  1. 什么情况下 ARIMA 比 Prophet 更好？ 从数据特征和假设条件的角度分析。

  2. 如何判断时间序列是否需要差分？ ADF 检验的 p-value 为 0.06（接近但大于0.05），你会怎么做？

  3. 时间序列预测中的「数据泄露」是什么？ 如何在训练时避免看到未来数据？

  4. 如何处理时间序列中的缺失值？ 前向填充、插值、模型预测各有什么优缺点？

  5. 在电商场景中，如何预测大促（如双11）期间的销量？ 常规时间序列模型可能失效，你会怎么处理？

参考资料